Страхиња Радић

Матрице преласка и хомогене координате

[верзија 0.1, 23. септембар 2009.]

Нека су e=(e_1, e_2, \dotsc, e_n) и e'=(e'_1, e'_2,
\dotsc, e'_n) базе n-димензионалног векторског простора V^n. Даље, нека су координате вектора v, где је A=O+v, у бази e једнаке x_1, x_2, \dotsc, x_n, а у бази e' једнаке x'_1, x'_2, \dotsc, x'_n.

Осим тога, нека је матрица C таква да су јој колоне координате вектора старе базе у новој. Ове координате су бројеви којима се множе вектори нове базе да би се добили вектори старе:

 $
\begin{gather}
\tag{1}
\begin{aligned}
e_1&=\pmb{c_{11}}\cdot e'_1+\pmb{c_{21}}\cdot e'_2+\dotsc+\pmb{c_{n1}}
\cdot e'_n\text{,}\\
&\ \,\vdots\\
e_n&=c_{1n}\cdot e'_1+c_{2n}\cdot e'_2+\dotsc+c_{nn}\cdot e'_n\text{,}
\end{aligned}
\end{gather}
$

тј.

e=e'C\text{,}\qquad C=\begin{bmatrix}
\pmb{c_{11}}&c_{12}&\dotsb&c_{1n}\\
\pmb{c_{21}}&c_{22}&\dotsb&c_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
\pmb{c_{n1}}&c_{n2}&\dotsb&c_{nn}
\end{bmatrix}\text{.}

Ова матрица, C, се назива матрицом преласка са нове базе на стару. Дакле, формулама (1) исказујемо векторе старе базе, e_1, e_2, \dotsc, e_n преко вектора нове, e'_1, e'_2, \dotsc, e'_n, ефективно изражавајући векторе старе базе у новој бази.

Ако се ради о афином простору, за репер је, поред базе придруженог векторског простора, битна и тачка коју смо изабрали за координатни почетак, тачка O. Ако су њене координате у новој бази (бројеви којима се множе вектори нове базе) једнаке c_{1(n+1)}, c_{2(n+1)}, \dotsc, c_{n(n+1)}, онда тачку O представљамо у бази e' на следећи начин:

 $
\[O=c_{1(n+1)}\cdot e'_1+c_{2(n+1)}\cdot e'_2+\dotsb
+c_{n(n+1)}\cdot e'_n\text{.}\]
$

Напишимо сада израз за тачку A у старој бази и сведимо га на израз за исту тачку у новој бази:

 $
\begin{align*}
A&=v+O=x_1\cdot e_1+x_2\cdot e_2+\dotsb+x_n\cdot e_n+O=\\
&=x_1\cdot(c_{11}\cdot e'_1+\dotsb+c_{n1}\cdot e'_n)+\\
&\phantom{=}+x_2\cdot(c_{12}\cdot e'_1+\dotsb+c_{n2}\cdot e'_n)+\\
&\phantom{=}+\dotsb+\\
&\phantom{=}+x_n\cdot(c_{1n}\cdot e'_1+\dotsb+c_{nn}\cdot e'_n)+\\
&\phantom{=}+c_{1(n+1)}\cdot e'_1+\dotsb+c_{n(n+1)}\cdot e'_n
\end{align*}
$

Сада групишимо чланове уз векторе нове базе:

 $
\begin{align*}
A&=e'_1\cdot
(x_1\cdot c_{11}+x_2\cdot c_{12}+\dotsb+x_n\cdot c_{1n}+c_{1(n+1)})+\\
&\phantom{=}+e'_2\cdot(x_1\cdot c_{21}+x_2\cdot c_{22}+\dotsb+x_n\cdot
c_{2n}+c_{2(n+1)})+\\
&\phantom{=}+\dotsb+\\
&\phantom{=}+e'_n\cdot(x_1\cdot c_{n1}+x_2\cdot c_{n2}+\dotsb+x_n\cdot
c_{nn}+c_{n(n+1)})\text{,}
\end{align*}
$

тј.:

 $
\[A=e'\cdot(Cx^{\rm T}+O_{e'})\text{,}\qquad x=(x_1, x_2, \dotsc,
x_n)=v_{e'}\text{.}\]
$

Одавде су координате вектора v у новој бази x'^{\rm T}=Cx^{\rm T}, односно матрица преласка са нове базе на стару је уједно матрица која преводи координате вектора тачке у старој бази на координате у новој бази.

Увођењем хомогених координата имамо x_i=\frac{\xi_i}{\xi_{n+1}}, па је:

 $
\[A=\frac{\xi_1}{\xi_{n+1}}\cdot e_1
+\frac{\xi_2}{\xi_{n+1}}\cdot e_2
+\dotsb
+\frac{\xi_n}{\xi_{n+1}}\cdot e_n+O\text{.}\]
$

Множењем претходне једнакости са \xi_{n+1} добијамо:

 $
\[\xi_{n+1}A=\xi_1\cdot e_1+\xi_2\cdot e_2
+\dotsb
+\xi_n\cdot e_n+\xi_{n+1}O\text{.}\]
$

Превођењем у нову базу добијамо:

 $
\begin{align*}
\xi_{n+1}A&=\xi_1\cdot(c_{11}\cdot e'_1+\dotsb c_{n1}\cdot e'_n)+\\
&\phantom{=}\xi_2\cdot(c_{12}\cdot e'_1+\dotsb c_{n2}\cdot e'_n)+\\
&\phantom{=}+\dotsb+\\
&\phantom{=}\xi_n\cdot(c_{1n}\cdot e'_1+\dotsb c_{nn}\cdot e'_n)+\\
&\phantom{=}\xi_{n+1}\cdot(c_{1(n+1)}\cdot e'_1+\dotsb+c_{n(n+1)}\cdot e'_n)
\end{align*}
$

Груписањем следи:

 $
\begin{align*}
\xi_{n+1}A
&=e'_1\cdot(\xi_1\cdot c_{11}+\xi_2\cdot c_{12}+\dotsb+\xi_n\cdot c_{1n}
+\xi_{n+1}c_{1(n+1)})+\\
&\phantom{=}+e'_2\cdot(\xi_1\cdot c_{21}+\xi_2\cdot c_{22}+\dotsb+\xi_n\cdot c_{2n}
+\xi_{n+1}c_{2(n+1)})+\\
&\phantom{=}+\dotsb+\\
&\phantom{=}+e'_n\cdot(\xi_1\cdot c_{n1}+\xi_2\cdot c_{n2}+\dotsb+\xi_n\cdot c_{nn}
+\xi_{n+1}c_{n(n+1)})\text{,}
\end{align*}
$

Можемо проширити матрицу C на следећи начин:

 $
\[\overline{C}=\begin{bmatrix}
C&O_{e'}^{\rm T}\\
\vec 0&1
\end{bmatrix}\text{,}\qquad O_{e'}=(c_{1(n+1)}, c_{2(n+1)}, \dotsc,
c_{n(n+1)})\text{,}\qquad\vec0=(0, 0, \dotsc, 0)\text{.}
\]
$

Сада је за \lambda\xi'_{n+1}=\xi_{n+1}:

 $
\[
\lambda\cdot\xi'\cdot
\begin{bmatrix}
e'&0\\\vec0&1
\end{bmatrix}^{\rm T}=\lambda\xi'_{n+1}\cdot\begin{bmatrix}
A\\1
\end{bmatrix}^{\rm T}=(\overline{C}\xi^{\rm T})^{\rm T}\cdot\begin{bmatrix}
e'&0\\\vec0&1
\end{bmatrix}^{\rm T}\text{,}\qquad
\xi=(\xi_1, \xi_2, \dotsc, \xi_{n+1})\text{,}\]
$

па је \lambda\xi'^{\rm T}=\overline{C}\xi^{\rm T} за \xi'=(\xi'_1,
\xi'_2, \dotsc, \xi'_{n+1}). (\overline{C} је матрица центроафине трансформације.)