Страхиња Радић

Решавање система диференцијалних једначина и метод неодређених коефицијената

Нехомогени систем диференцијалних једначина (у даљем тексту: НСДЈ) се решава тако што се реши хомогени део, дакле одреди се ОР ХСДЈ, Y_c, онда се одреди једно партикуларно решење НСДЈ, Y_p, и та два решења се саберу, дајући опште решење: Y=Y_c+Y_p. На пример:

Пример. Одредити опште решење система:

 $
\begin{align*}
y'_1&=2y_1-y_2\text{,}\\
y'_2&=-y_1+2y_2-5\,e^x\,\sin x\text{.}
\end{align*}
$

Решење. Напишимо хомогени део овог НСДЈ:

 $
\begin{align*}
y'_1&=2y_1-y_2\text{,}\\
y'_2&=-y_1+2y_2\text{.}
\end{align*}
$

Његова матрица је:

 $
\[M=\begin{bmatrix}
\phantom{-}2&-1\\-1&\phantom{-}2
\end{bmatrix}\text{.}\]
$

Њен карактеристични полином је:

 $
\[k_M(\lambda)=(2-\lambda)^2-1=(3-\lambda)(1-\lambda)\text{,}\]
$

па су сопствене вредности \lambda_1=3, \lambda_2=1, а сопствени вектори:

 $
\begin{align*}
(M-\lambda_1E)\,v_1=\vec 0&\sledi v_{12}=-v_{11}\sledi
v_1=\begin{bmatrix}\phantom{-}1\\-1\end{bmatrix}\\
(M-\lambda_2E)\,v_2=\vec 0&\sledi v_{22}=v_{21}\sledi
v_2=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}
\end{align*}
$

Сопствени вектори матрице система ДЈ образују (сликовито речено, „разапињу“) простор решења. То значи да они чине базу простора решења. У овом примеру имамо две реалне и различите сопствене вредности, па ћемо имати два различита реална сопствена вектора, и ситуација је сасвим проста; ОР ХСДЈ је:

 $
\[Y_c=\begin{bmatrix}v_{11}&\dotsc&v_{1n}\\
\vdots&&\vdots\\
v_{n1}&\dotsc&v_{nn}\end{bmatrix}
\cdot\begin{bmatrix}C_1 e^{\lambda_1 x}\\\vdots\\C_n e^{\lambda_n x}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
C_1 e^{3x} + C_2 e^x\\
C_1 e^{3x} - C_2 e^x
\end{bmatrix}\text{,}\qquad C_1,\ C_2\text{ произвољне константе.}\]
$

За одређивање једног ПР НСДЈ је најзгодније употребити метод неодређених коефицијената. Он се састоји у састављању („погађању“, „набадању“, ...) облика ПР и налажењу његових коефицијената који су задати као параметри. Ако то није могуће, то значи да погађање није било добро, па треба да погађамо поново. Овде се нехомогени део („реп“ система) састоји од следећег умношка (где је * множење матрица по компонентама):

 $
\[g(x)=\begin{bmatrix}
0\\
-5\,e^x\,\sin x
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\phantom{-}0\\-5\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}
0\\e^x
\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}
0\\\sin x\end{bmatrix}\text{.}\]
$

Сваки од ових делова представља матрицу једног подоблика елементарних функција. Сваком од тих подоблика је придружен по један облик за погађање решења. Тако је:

 $
\begin{tabular}{|cc|}
\hline
функција&облик погађања\\
\hline
\rule{0pt}{1.5em}
$\sum a_ix^i$&$\sum A_ix^i$\\
\raisebox{-0.7em}{\rule{0pt}{2.5em}}
$e^{kx}$&$A\,e^{kx}$\\
\raisebox{-1.5em}{\rule{0pt}{1.5em}}
$\left.\begin{array}{r}
\sin(tx)\\\cos(tx)
\end{array}\right\}$
&$A\,\sin(tx)+B\,\cos(tx)$\\
\hline
\end{tabular}
$

Битно је запамтити да је у случају тригонометријских функција, без обзира на то да ли се ради о појављивању једне или више њих, облик погађања исти, A\,\sin(tx)+B\,\cos(tx). Једино се разликују „блокови“ збирова тригонометријских функција од различитих аргумената. На пример, за функцију \sin(2x)+\cos(3x)+4\sin(3x), облик погађања ће бити [A\sin(2x)+B\cos(2x)]+[C\sin(3x)+D\cos(3x)].

Параметар A је произвољан, па се комбиновањем делова A\,e^{kx} и \overline A\,\sin(tx)+\overline B\,\cos(tx) он може изоставити, јер се њиме множе параметри \overline A и \overline B:

 $
\[e^{kx}(A\,\sin(tx)+B\,\cos(tx))\text{.}\]
$

У овој последњој једначини смо просто ради једноставнијег писања преозначили параметре A\cdot\overline A као A, и  A\cdot\overline B као B.

Тривијални „полином“ -5 не садржи променљиву x, па је његов облик погађања A_0, тј. параметар, који се такође „утапа“ управо наведеним поступком.

Пошто се овде ради о систему ДЈ, „параметри“ ће бити матрице параметара. У овом једноставном примеру, имамо и t=1 и k=1. Дакле, облик за погађање ПР НСДЈ ће бити:

 $
\[Y_p=\begin{bmatrix}
e^x(A_1\,\sin x+B_1\,\cos x)\\
e^x(A_2\,\sin x+B_2\,\cos x)
\end{bmatrix}\text{.}\]
$

Сада овог „кандидата“ за ПР „убацујемо“ у систем. Зато треба прво да нађемо његов извод:

 $
\[Y'_p=\begin{bmatrix}
e^x\bigl[(A_1-B_1)\sin x+(A_1+B_1)\cos x\bigr]\\
e^x\bigl[(A_2-B_2)\sin x+(A_2+B_2)\cos x\bigr]
\end{bmatrix}\text{.}\]
$

Затим убацујемо у систем (нехомогени!):

 $
\[Y'_p=Y_p\cdot M+g(x)\text{.}\]
$

Изједначавањем коефицијената уз e^x\sin x и e^x\cos x добијамо систем по параметрима A_1, A_2, B_1 и B_2, чије је решење:

 $
\[A_1=-\frac{25}{16}\text{,}\quad A_2=\frac{5}{32}\text{,}%
\quad B_1=\frac{25}{8}\text{,}\quad B_2=\frac{75}{16}\text{,}\]
$

па је:

 $
\[Y_p=\begin{bmatrix}
\bigl(-\frac{25}{16}\sin x+\frac{25}{8}\cos x\bigr)e^x\\[1ex]
\bigl(\phantom{-}\frac{5}{32}\sin x+\frac{75}{16}\cos x\bigr)e^x
\end{bmatrix}\text{,}\]
$

и коначно, опште решење нехомогеног система ДЈ гласи:

 $
\[Y=Y_c+Y_p=\begin{bmatrix}
C_1 e^{3x} + C_2 e^x+\bigl(-\frac{25}{16}\sin x+\frac{25}{8}\cos x\bigr)e^x\\[1ex]
C_1 e^{3x} - C_2 e^x+\bigl(\phantom{-}\frac{5}{32}\sin x+\frac{75}{16}\cos x\bigr)e^x
\end{bmatrix}\text{,}\qquad C_1,\ C_2\text{ произвољне константе.}\]
$