Страхиња Радић

Неки од најчешћих начина параметризације и смена у криволинијским, површинским и n-интегралима

Смена \tan\frac{x}{2}

Ако се подинтегрална функција састоји од рационалне функције од тригонометријских функција (нпр. полинома од тригонометријских функција или разломка од тригонометријских функција, или произвољне комбинације полинома и разломака од тригонометријских функција), онда се интеграл

 $
\begin{equation}
\int_a^b R(\sin x,\;\cos x)\dd x
\label{eqn:irtfun}
\end{equation}
$

може свести на интеграл од обичне рационалне функције сменом \tan\frac{x}{2}=t. Тада је:

 $
\[\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\underbrace{\frac{1-\cos x}{\sin
x}}_{(*_1)}=t\text{,}\]
$

па је:

 $
\begin{align*}
\sin x=t+t\,\cos x&\overset{(*_1)}{\sledi}\frac{1-\cos x}{t\,(1+\cos
x)}=t\sledi\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=t^2\sledi\\
&\sledi1-\cos x=t^2+t^2\,\cos x\sledi(t^2+1)\,\cos x=1-t^2\text{,}
\end{align*}
$

и имамо:

 $
\begin{equation}
\fdmathbox{\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\text{.}}
\tag{К}
\label{eqn:tanxpcos}
\end{equation}
$

Пошто је \sin x=t\,(1+\cos x), следи:

 $
\begin{equation}
\fdmathbox{\sin x}=t\,\Bigl(1+\frac{1-t^2}{1+t^2}\Bigr)
=\fdmathbox{\frac{2t}{1+t^2}\text{.}}
\tag{С}
\label{eqn:tanxpsin}
\end{equation}
$

Из:

 $
\[\!\dd(\sin x)=\!\dd\Bigl(\frac{2t}{1+t^2}\Bigr)\]
$

следи:

 $
\[\cos x\dd x=2\frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}\dd t\text{,}\]
$

па из (К) следи:

 $
\begin{equation}
\fdmathbox{\!\dd
x}=\frac{1+t^2}{1-t^2}\cdot2\cdot\frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}\dd
x=\fdmathbox{\frac{2\dd t}{1+t^2}\text{.}}
\tag{Д}
\label{eqn:tanxpizv}
\end{equation}
$

На крају, из (К), (С) и (Д) следи да интеграл (1) постаје:

 $
\[\fdmathbox{\int_a^bR(\sin x,\;\cos x)\dd
x=2\int_{\tan\frac{a}{2}}^{\tan\frac{b}{2}}R\Bigl(\frac{2t}{1+t^2},\;
\frac{1-t^2}{1+t^2}\Bigr)\frac{\!\dd t}{1+t^2}\text{.}}\]
$

Тангенс је строго монотона функција, па ова смена увек може да се примени, и увек има за резултат интеграл од рационалне функције (ако друге, једноставније смене не могу да се примене, ова сигурно може). Јасно је да уколико се у подинтегралној функцији полазног интеграла (1) поред тригонометријских функција од x појављује и променљива x, интеграл који се добија после смене \tan\frac{x}{2}=t неће бити интеграл од рационалне функције, јер ће се у подинтегралној функцији појавити x=2\arctan t.

Сферне координате

Нека је M(x,y,z) тачка у простору \R^3. Поред стандардног начина одређивања положаја те тачке у простору преко одсечака на осама Ox, Oy и Oz, њен положај се може одредити и преко дужине вектора кога она одређује и углова које тај вектор заклапа са осама Oz и Ox.


import three;

size(6cm);
currentprojection = orthographic(10,6,3);


pen sivo = rgb(0.6, 0.6, 0.6);
pen svetlosivo = rgb(0.8, 0.8, 0.8);

pen ose=svetlosivo;
pen ose_natpis=black;
pen crtice=sivo+dashed;
pen tacxkice=sivo+linetype("0 2")+linewidth(1.5);

triple O = (0,0,0);

defaultpen(linewidth(1.1)+fontsize(9pt));

draw(Label("$x$",1,ose_natpis),O--1.5*X,ose,Arrow3(8,10));
draw(Label("$y$",1,ose_natpis),O--1.5*Y,ose,Arrow3(8,10));
draw(Label("$z$",1,ose_natpis),O--1.5*Z,ose,Arrow3(8,10));

draw(arc(O, Z, Y));
draw(arc(O, Z, X));
draw(arc(O, X, Y));

real phi = pi/3;
real theta = pi/3;

triple M = (sin(phi)*cos(theta), sin(phi)*sin(theta), cos(phi));
triple Mxy = (M.x, M.y, 0);
triple Mz = (0, 0, M.z);

draw(Label("$M$",1), O--M, Arrow3(8,12));
draw(O--Mxy, tacxkice);
draw(Mxy--M, tacxkice);

real faktor = 0.5;
draw(Label("$\varphi$",black), faktor*Z{M} .. {-Z}faktor*M,
  crtice, Arrow3(8,12));
faktor = 0.7;
draw(Label("$\theta$",MidPoint,N,black), faktor*X{Mxy} ..
  {-X}faktor*Mxy, crtice, Arrow3(8,12));

//draw(rotate(M)*Label("$\rho$",MidPoint,S,black),O--M,invisible);
//label("$\rho$",MidPoint,S,black);
draw(Label("$\rho$",MidPoint,S,black),O--M);

Означимо дужину вектора \vek{M} са \nnorm{\vek{M}}=\rho, угао који он заклапа са осом Oz са \ugao(\vek{M}, Oz)=\vp, а угао који заклапа са осом Ox са \ugao(\vek{M},Ox)=\theta. На тај начин положај тачке M опет зависи од три параметра: \rho, \vp и \theta. Они могу да узимају произвољне реалне вредности, али се обично посматрају случајеви када је \vp, \theta\in[0,2\pi] или \vp, \theta\in[-\pi,\pi] и \rho\in[0,R], за неко R\in\R.

Потребно је само још пронаћи начин изражавања координата (x,y,z) помоћу координата (\rho,\vp,\theta), односно пресликавање (\rho,\vp,\theta)\overset{\Phi}{\mapsto}(x,y,z). Због тога уочимо тачке: O(0,0,0), M(x,y,z) и A(0,0,z). Посматрајмо правоугли троугао OMA и угао \vp=\ugao(OM,OA). Као и код сваког угла, и овде можемо да одредимо однос дужина катета са дужином хипотенузе, односно вектора \vek{M}.


import three;

size(6cm);
currentprojection = orthographic(10,6,3);

pen sivo = rgb(0.6, 0.6, 0.6);
pen svetlosivo = rgb(0.8, 0.8, 0.8);

pen ose=svetlosivo;
pen ose_natpis=black;
pen crtice=sivo+dashed;
pen tacxkice=sivo+linetype("0 2")+linewidth(1.5);

triple O = (0,0,0);

defaultpen(linewidth(1.1)+fontsize(9pt));

draw(Label("$x$",1,ose_natpis),O--1.1*X,ose,Arrow3(8,10));
draw(Label("$y$",1,ose_natpis),O--1.1*Y,ose,Arrow3(8,10));
draw(Label("$z$",1,ose_natpis),O--1.1*Z,ose,Arrow3(8,10));

real phi = pi/3;
real theta = pi/3;

triple M = (sin(phi)*cos(theta), sin(phi)*sin(theta), cos(phi));
triple Mxy = (M.x, M.y, 0);
triple Mz = (0, 0, M.z);

draw(Label("$M$",1), O--M, Arrow3(8,12));
draw(//rotate(M-Mz)*
rotate(-25)*
Label("$\rho\cdot\sin\varphi$",MidPoint,N,black+fontsize(8pt)),
  Mz--M, tacxkice);
draw(Label("$\rho$",MidPoint,S,black+fontsize(8pt)),
  O--M, invisible);
draw(rotate(90)*
shift((-1,1))*
Label("$\rho\cdot\cos\varphi$",MidPoint,N,black+fontsize(8pt)),
  O--Mz, invisible);
label("$A$",Mz,NW);
label("$O$",O,S);

real faktor = 0.4;
draw(Label("$\varphi$",black),
  faktor*Z{M} .. {-Z}faktor*M, crtice, Arrow3(8,12));

Дакле, имамо:

 $
\[\nnorm{AM}=\rho\cdot\sin\vp\text{,}\qquad\nnorm{OA}=\rho\cdot\cos\vp\text{.}\]
$

Означимо пројекцију тачке M на раван Oxy са B(x,y,0), а пројекцију тачке B на осу Ox са C(x,0,0), и уочимо правоугли троугао OBC. Пошто је \nnorm{OB}=\nnorm{AM}=\rho\cdot\sin\vp, и пошто је \ugao(OB,Ox)=\theta, можемо да одредимо и дужине \nnorm{OC} и \nnorm{CB}.


import three;

size(6cm,0);
currentprojection = orthographic(10,6,3);

pen sivo = rgb(0.6, 0.6, 0.6);
pen svetlosivo = rgb(0.8, 0.8, 0.8);

pen ose=svetlosivo;
pen ose_natpis=black;
pen crtice=sivo+dashed;
pen tacxkice=sivo+linetype("0 2")+linewidth(1.5);

triple O = (0,0,0);

defaultpen(linewidth(1.1)+fontsize(9pt));

draw(Label("$x$",1,ose_natpis),O--1.1*X,ose,Arrow3(8,10));
draw(Label("$y$",1,ose_natpis),O--1.1*Y,ose,Arrow3(8,10));
draw(Label("$z$",1,ose_natpis),O--1.1*Z,ose,Arrow3(8,10));

real phi = pi/3;
real theta = pi/3;

triple M = (sin(phi)*cos(theta), sin(phi)*sin(theta), cos(phi));
triple Mxy = (M.x, M.y, 0);
triple Mz = (0, 0, M.z);

draw(Label("$M$",1), O--M, Arrow3(8,12));
draw(rotate(-25)*Label("$\rho\cdot\sin\varphi$",MidPoint,N,black+fontsize(8pt)),
  Mz--M, tacxkice);
draw(//rotate(30)*
Label("$\rho$",MidPoint,S,black+fontsize(8pt)),
  O--M, invisible);
draw(Label("$B$",1,E,black), M--Mxy, tacxkice);
draw(O--Mxy, tacxkice);
draw(Label("$C$",1,NW,black), Mxy--(M.x,0,0), tacxkice);
label("$A$",Mz,NW);
label("$O$",O,NW);

real faktor = 0.4;
draw(Label("$\varphi$",black),
  faktor*Z{M} .. {-Z}faktor*M, crtice, Arrow3(8,12));
faktor = 1;
draw(Label("$\theta$",MidPoint,N,black), faktor*X{Mxy} ..
  {-X}faktor*Mxy, crtice, Arrow3(8,12));

Наиме, означимо дужину хипотенузе OB троугла OBC са \tau=\nnorm{OB}=\nnorm{AM}. Тада је:

 $
\[\nnorm{OC}=\tau\cdot\cos\theta\text{,}\qquad\nnorm{CB}=\tau\cdot\sin\theta\text{,}\]
$

па пошто је \tau=\rho\cdot\sin\vp, биће:

 $
\begin{align*}
\nnorm{OC}&=(\rho\cdot\sin\vp)\cdot\cos\theta\text{,}\\
\nnorm{CB}&=(\rho\cdot\sin\vp)\cdot\sin\theta\text{,}\\
\nnorm{OA}&=\rho\cdot\cos\vp\text{.}
\end{align*}
$

Одатле коначно следи:

 $
\[\fdmathbox{
\Phi\left\{
\begin{aligned}
x&=\rho\,\sin\vp\,\cos\theta\text{,}\\
y&=\rho\,\sin\vp\,\sin\theta\text{,}\\
z&=\rho\,\cos\vp\text{,}
\end{aligned}\right.}\]
$

а јакобијан тог пресликавања је:

 $
\begin{multline*}
J(\Phi)=\begin{vmatrix}
x'_\rho & x'_\vp & x'_\theta\\
y'_\rho & y'_\vp & y'_\theta\\
z'_\rho & z'_\vp & z'_\theta\\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\sin\vp\,\cos\theta
 & \rho\,\cos\vp\,\cos\theta
 & -\rho\,\sin\vp\,\sin\theta\\
\sin\vp\,\sin\theta
 & \rho\,\cos\vp\,\sin\theta
 & \rho\,\sin\vp\,\cos\theta\\
\cos\vp
 & -\rho\sin\vp
 & 0
\end{vmatrix}=\\
=\sin\vp\,\cos\theta\cdot(0+\rho^2\,\sin^2\vp\,\cos\theta)
-\sin\vp\,\sin\theta\cdot(0-\rho^2\,\sin^2\vp\,\sin\theta)+\\
+\cos\vp\cdot(\rho^2\,\sin\vp\,\cos\vp\,\cos^2\theta
 +\rho^2\,\sin\vp\,\cos\vp\,\sin^2\theta)=\\
=\rho^2\cdot(\sin^3\vp\,\cos^2\theta+\sin^3\vp\,\sin^2\theta+\sin\vp\,\cos^2\vp)=\\
=\rho^2\,\sin\vp\cdot(\sin^2\vp+\cos^2\vp)=\fmathbox{\rho^2\,\sin\vp\text{.}}
\end{multline*}
$

Дефиниција 1. Координате (\rho,\vp,\theta) које су задане пресликавањем:

 $
\[\Phi:\R^3\slika\R^3\text{,}\qquad
\Phi(\rho,\vp,\theta)=(\rho\,\sin\vp\,\sin\theta,\;
\rho\,\sin\vp\,\cos\theta,\;
\rho\,\cos\vp)=(x,y,z)\text{,}\]
$

се називају сферним координатама.

Одређивање оријентације параметарске криве

Приликом израчунавања криволинијских интеграла друге врсте је потребно да се одреди оријентација криве интеграције. У случају негативне оријентације, мења се знак целог криволинијског интеграла. Уколико је крива задана у параметарском облику:

 $
\[\vec r(t)=\bigl(x(t), y(t), z(t)\bigr)\text{,}\qquad
t\in[a,b]\text{,}\]
$

онда се одређивање оријентације своди на израчунавање тачака криве за одређене вредности параметра. Уколико је крива отворена, довољно је одредити координате њених крајњих тачака, а уколико је затворена, потребно је поделити област којој припада параметар t на два или више делова и за сваки израчунати координате крајњих тачака. На пример, нека су задане две криве:

 $
\begin{align*}
f(t)&=\bigl(\sin t, \cos t, z_1\bigr)\text{,}\\
g(t)&=\bigl(\cos t, \sin t, z_2\bigr)\text{,}
\end{align*}
$

и нека t узима вредности из сегмента \bigl[0,\frac{2}{3}\pi\bigr]:


import three;
import graph3;

size(5cm,0);
currentprojection = orthographic(10,6,3);

pen sivo = rgb(0.6, 0.6, 0.6);
pen svetlosivo = rgb(0.8, 0.8, 0.8);

pen ose=svetlosivo;
pen ose_natpis=black;
pen crtice=sivo+dashed;
pen tacxkice=sivo+linetype("0 2")+linewidth(1.5);

triple O = (0,0,0);

defaultpen(linewidth(1.1)+fontsize(9pt));

draw(Label("$x$",1,ose_natpis),O--1.1*X,ose,Arrow3(8,10));
draw(Label("$y$",1,ose_natpis),O--1.1*Y,ose,Arrow3(8,10));
draw(Label("$z$",1,ose_natpis),O--1.1*Z,ose,Arrow3(8,10));

real fx(real t) { return sin(t); }
real fy(real t) { return cos(t); }
real fz(real t) { return .7; }

path3 gf = graph(fx,fy,fz,0,2pi/3,Spline);
bbox3 bf = autolimits(min(gf),max(gf));
aspect(bf,1,1,1);
draw(Label("$f(t)$",MidPoint,N,black),gf,Arrow3(8,12));

triple A = point(gf,0);
triple Az = (0,0,dot(A,Z));
triple B = point(gf,gf.length());
draw(A,linewidth(2));
draw(Label("$A$",EndPoint,NE,black),Az--A,invisible);
draw(B,linewidth(2));
draw(Label("$B$",EndPoint,NW,black),Az--B,invisible);
draw(//rotate(Az-A)*
Label("$t=0$",MidPoint,N,black+fontsize(7pt)),A--Az,tacxkice);
draw(//rotate(Az-B)*
Label("$t=2\pi/3$",MidPoint,N,black+fontsize(7pt)),B--Az,tacxkice);

real gx(real t) { return cos(t); }
real gy(real t) { return sin(t); }
real gz(real t) { return .2; }

path3 gg = graph(gx,gy,gz,0,2pi/3,Spline);
draw(Label("$g(t)$",MidPoint,S,black),gg,Arrow3(8,12));

triple C = point(gg,0);
triple Cz = (0,0,dot(C,Z));
triple D = point(gg,gg.length());
draw(C,linewidth(2));
draw(Label("$C$",EndPoint,NW,black),Cz--C,invisible);
draw(D,linewidth(2));
draw(Label("$D$",EndPoint,NE,black),Cz--D,invisible);
draw(//rotate(Cz-C)*
Label("$t=0$",MidPoint,N,black+fontsize(7pt)),C--Cz,tacxkice);
draw(//rotate(Cz-D)*
Label("$t=2\pi/3$",MidPoint,N,black+fontsize(7pt)),D--Cz,tacxkice);

Видимо да су криве f и g отворене, и да су координате њихових крајњих тачака:

 $
\begin{align*}
A&=f(0)=(0,1,z_1)\text{,}\qquad B=f\Bigl(\frac{2}{3}\pi\Bigr)=
\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},z_1\Bigr)\text{,}\\
C&=g(0)=(1,0,z_2)\text{,}\qquad
D=g\Bigl(\frac{2}{3}\pi\Bigr)=
\Bigl(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},z_2\Bigr)\text{.}\\
\end{align*}
$

Пошто се параметар t „креће“ од почетка сегмента \bigl[0,\frac{2}{3}\pi\bigr] до његовог краја, криве ће бити оријентисане од A ка B и од C ка D.

Ако је, на пример, задана оријентација „из тачке“ (0,0,10\,z), где је z=\max\bigl\{\nabs{z_1}, \nabs{z_2}\bigr\}, онда је крива f негативно оријентисана и криволинијски интеграл друге врсте по њој би имао негативан предзнак (множио би се са -1), а крива g је позитивно оријентисана, и одговарајући криволинијски интеграл друге врсте би имао позитиван предзнак. Ако би оријентација била задана „из тачке“ (0,0,-10\,z), криве би биле супротне оријентације од претходног примера, а одговарајући интеграли супротних знакова.

На крају, да је за домен параметра t узет сегмент [0,2\pi], криве би биле затворене, али би њихова оријентација остала иста као и у претходним случајевима.

У пракси је понекад потребно израчунати координате најмање три тачке да би оријентација криве могла ефикасно да се одреди.