Матрице преласка и хомогене координате

[верзија 0.1, 23. септембар 2009.]

Страхиња Радић

Нека су $e=(e_1, e_2, \ldots, e_n)$ и $e'=(e'_1, e'_2, \ldots, e'_n)$ базе $n$-димензионалног векторског простора $V^n$. Даље, нека су координате вектора $v$, где је $A=O+v$, у бази $e$ једнаке $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, а у бази $e'$ једнаке $x'_1$, $x'_2$, $\ldots$, $x'_n$.

Осим тога, нека је матрица $C$ таква да су јој колоне координате вектора старе базе у новој. Ове координате су бројеви којима се множе вектори нове базе да би се добили вектори старе:

$$\tag{1}\begin{aligned}e_1&={c_{11}}\cdot e'_1+{c_{21}}\cdot e'_2+\ldots+{c_{n1}}\cdot e'_n\text{,}\\&\ \,\vdots\\e_n&=c_{1n}\cdot e'_1+c_{2n}\cdot e'_2+\ldots+c_{nn}\cdot e'_n\text{,}\end{aligned}$$

тј.

$e=e'C\text{,}\qquad C=\begin{bmatrix}{c_{11}}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\{c_{21}}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\{c_{n1}}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{bmatrix}\text{.}$

Ова матрица, $C$, се назива матрицом преласка са нове базе на стару. Дакле, формулама (1) исказујемо векторе старе базе, $e_1$, $e_2$, $\ldots$, $e_n$ преко вектора нове, $e'_1$, $e'_2$, $\ldots$, $e'_n$, ефективно изражавајући векторе старе базе у новој бази.

Ако се ради о афином простору, за репер је, поред базе придруженог векторског простора, битна и тачка коју смо изабрали за координатни почетак, тачка $O$. Ако су њене координате у новој бази (бројеви којима се множе вектори нове базе) једнаке $c_{1(n+1)}$, $c_{2(n+1)}$, $\ldots$, $c_{n(n+1)}$, онда тачку $O$ представљамо у бази $e'$ на следећи начин:

$$O=c_{1(n+1)}\cdot e'_1+c_{2(n+1)}\cdot e'_2+\cdots+c_{n(n+1)}\cdot e'_n\text{.}$$

Напишимо сада израз за тачку $A$ у старој бази и сведимо га на израз за исту тачку у новој бази:

$$\begin{aligned}A&=v+O=x_1\cdot e_1+x_2\cdot e_2+\cdots+x_n\cdot e_n+O=\\&=x_1\cdot(c_{11}\cdot e'_1+\cdots+c_{n1}\cdot e'_n)+\\&\phantom{=}+x_2\cdot(c_{12}\cdot e'_1+\cdots+c_{n2}\cdot e'_n)+\\&\phantom{=}+\cdots+\\&\phantom{=}+x_n\cdot(c_{1n}\cdot e'_1+\cdots+c_{nn}\cdot e'_n)+\\&\phantom{=}+c_{1(n+1)}\cdot e'_1+\cdots+c_{n(n+1)}\cdot e'_n\end{aligned}$$

Сада групишимо чланове уз векторе нове базе:

$$\begin{aligned}A&=e'_1\cdot(x_1\cdot c_{11}+x_2\cdot c_{12}+\cdots+x_n\cdot c_{1n}+c_{1(n+1)})+\\&\phantom{=}+e'_2\cdot(x_1\cdot c_{21}+x_2\cdot c_{22}+\cdots+x_n\cdotc_{2n}+c_{2(n+1)})+\\&\phantom{=}+\cdots+\\&\phantom{=}+e'_n\cdot(x_1\cdot c_{n1}+x_2\cdot c_{n2}+\cdots+x_n\cdotc_{nn}+c_{n(n+1)})\text{,}\end{aligned}$$

тј.:

$$A=e'\cdot(Cx^{\text T}+O_{e'})\text{,}\qquad x=(x_1, x_2, \ldots,x_n)=v_{e'}\text{.}$$

Одавде су координате вектора $v$ у новој бази ${x'}^{\text T}=Cx^{\text T}$, односно матрица преласка са нове базе на стару је уједно матрица која преводи координате вектора тачке у старој бази на координате у новој бази.

Увођењем хомогених координата имамо $x_i=\frac{\xi_i}{\xi_{n+1}}$, па је:

$$A=\frac{\xi_1}{\xi_{n+1}}\cdot e_1+\frac{\xi_2}{\xi_{n+1}}\cdot e_2+\cdots+\frac{\xi_n}{\xi_{n+1}}\cdot e_n+O\text{.}$$

Множењем претходне једнакости са $\xi_{n+1}$ добијамо:

$$\xi_{n+1}A=\xi_1\cdot e_1+\xi_2\cdot e_2+\cdots+\xi_n\cdot e_n+\xi_{n+1}O\text{.}$$

Превођењем у нову базу добијамо:

$$\begin{aligned}\xi_{n+1}A&=\xi_1\cdot(c_{11}\cdot e'_1+\cdots c_{n1}\cdot e'_n)+\\&\phantom{=}\xi_2\cdot(c_{12}\cdot e'_1+\cdots c_{n2}\cdot e'_n)+\\&\phantom{=}+\cdots+\\&\phantom{=}\xi_n\cdot(c_{1n}\cdot e'_1+\cdots c_{nn}\cdot e'_n)+\\&\phantom{=}\xi_{n+1}\cdot(c_{1(n+1)}\cdot e'_1+\cdots+c_{n(n+1)}\cdot e'_n)\end{aligned}$$

Груписањем следи:

$$\begin{aligned}\xi_{n+1}A&=e'_1\cdot(\xi_1\cdot c_{11}+\xi_2\cdot c_{12}+\cdots+\xi_n\cdot c_{1n}+\xi_{n+1}c_{1(n+1)})+\\&\phantom{=}+e'_2\cdot(\xi_1\cdot c_{21}+\xi_2\cdot c_{22}+\cdots+\xi_n\cdot c_{2n}+\xi_{n+1}c_{2(n+1)})+\\&\phantom{=}+\cdots+\\&\phantom{=}+e'_n\cdot(\xi_1\cdot c_{n1}+\xi_2\cdot c_{n2}+\cdots+\xi_n\cdot c_{nn}+\xi_{n+1}c_{n(n+1)})\text{,}\end{aligned}$$

Можемо проширити матрицу $C$ на следећи начин:

$$\overline{C}=\begin{bmatrix}C&O_{e'}^{\text T}\\\vec 0&1\end{bmatrix}\text{,}\qquad O_{e'}=(c_{1(n+1)}, c_{2(n+1)}, \ldots,c_{n(n+1)})\text{,}\qquad\vec0=(0, 0, \ldots, 0)\text{.}$$

Сада је за $\lambda\xi'_{n+1}=\xi_{n+1}$:

$$\begin{aligned}\lambda\cdot\xi'\cdot\begin{bmatrix}e'&0\\\vec0&1\end{bmatrix}^{\text T}=\lambda\xi'_{n+1}\cdot\begin{bmatrix}A\\1\end{bmatrix}^{\text T}=(\overline{C}\xi^{\text T})^{\text T}\cdot\begin{bmatrix}e'&0\\\vec0&1\end{bmatrix}^{\text T}\text{,}\qquad\xi=(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n+1})\text{,}\end{aligned}$$

па је $\lambda{\xi'}^{\text T}=\overline{C}\xi^{\text T}$ за $\xi'=(\xi'_1,\xi'_2, \ldots, \xi'_{n+1})$. ($\overline{C}$ је матрица центроафине трансформације.)